Las Ecuaciones de Maxwell

Las Ecuaciones de Maxwell

junio 17, 2020 0 Por Guillermo Huerta

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos.

La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales; debido a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto; el campo electromagnético.

Fundamentos de las ecuaciones de Maxwell

Los cuatro fenómenos básicos tomados como Postulados del electromagnetismo son:

Ley de Faraday sobre la fuerza electromotriz inducida

Esta ley fue descubierta por Michael Faraday en 1831, quien se desempeñaba como encargado del pañol del laboratorio (ordenanza) de la “Royal Institution” de Inglaterra, usando un diseño propio muy simple. Al mover el imán dentro del cartón, que tenía enrollado un alambre de cobre, las láminas metálicas del electroscopio se abrían; lo anterior indica la acumulación de cargas eléctricas en ambas hojuelas. Esto debido a la consecuencia de una corriente eléctrica por el alambre de cobre, simultánea con el movimiento.

Ello nos indica que en el conductor de cobre existe un campo eléctrico; está condición sólo se cumple cuando hay movimiento relativo entre el imán y el conductor. Faraday descubrió que la electricidad y el magnetismo se relacionaban funcionalmente si los campos eran variables en el tiempo. La forma matemática de la ley de Faraday.

Ley de Gauss-Faraday sobre inducción eléctrica

Los experimentos de inducción eléctrica realizados por Faraday (antes del año 1831) mostraron que si una carga Q es encerrada por un recipiente conductor inicialmente neutro. Lo anterior sin establecer contacto directo con el cuerpo cargado; el recipiente conductor reordena sus cargas de tal manera que las superficies interior y exterior del recipiente quedan cargadas con signo opuesto.

La carga total inducida en cada superficie resulta de magnitud exactamente igual a la de la carga encerrada. La expresión matemática de esta ley fue dada por Gauss y reformulada por Heaviside con la actual forma vectorial, utilizando el campo de “inducción” D.

El cual fuera definido y medido por Faraday; cuyo módulo en un punto cualquiera del espacio representa la densidad de carga inducida máxima que podría obtenerse si ubicáramos una plaquita metálica

La ley de Ampère

Fue el gran físico matemático francés A. Ampère (1775-1836) quien interpretó y dio la expresión matemática del fenómeno (que lleva su nombre), además de proponer a las corrientes como única “causa” del magnetismo, propuesta conocida como la Hipótesis de Ampère. Hoy sabemos que las corrientes eléctricas y el campo magnético asociado no son causa y efecto ya que ambos, corriente y campo; aparecen simultáneamente con el movimiento (causa) de cargas. Matemáticamente la Ley de Ampere se expresa.

La ley de Ampère puede ser expresada usando el vector densidad de corriente, cuya relación con la corriente está dada por:

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:

Primera ecuación de Maxwell

Partimos de la Ley de Faraday sobre la fuerza electromotriz inducida. Usando el Teorema de Stokes queda: Si en el segundo miembro pudiéramos conmutar las operaciones de derivada temporal y la integral; podríamos igualar los integrandos de la ecuación porque tendrían el mismo recinto de integración. En ese caso quedará:

Ecuaciones de Maxwell

Como los puntos de interés deben estar en reposo se cumple: Ahora podemos igualar los integrandos obteniendo la primera ecuación de Maxwell.

Segunda ecuación de Maxwell

Usando el teorema de Gauss queda: Dado que las integrales tienen el mismo recinto de integración; así podemos igualar los integrandos y obtenemos la segunda ecuación de Maxwell. Esta ley escalar nos indica que las fuentes del campo D son las cargas positivas y los sumideros las cargas negativas. Partimos de la ley de Gauss-Faraday sobre inducción eléctrica

Ecuaciones de Maxwell

Tercera ecuación de Maxwell

Partimos de la ley de Ampère Usando el teorema de Stokes queda: Dado que las integrales tienen el mismo recinto de integración; así podemos igualar los integrandos y obtenemos la llamada “Ley de Ampère microscópica”. Como la ley de Ampère vale sólo para corrientes constantes, la anterior ecuación es válida si el vector J es estacionario.

Ecuaciones de Maxwell

Cuarta ecuación de Maxwell

Si aceptamos que las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas la expresión matemática es inmediata pues el campo magnético B no tiene fuentes ni sumideros. En consecuencia, su divergencia es nula.

Ecuaciones de Maxwell

Te sugerimos leer

https://www.ingenieriacolectiva.com.mx/2020/05/28/cables-de-potencia/